（1）设等差数列{a_n}的首项是a₁，

∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d，S_m=ma₁+

m(m-1)

2

d，

∴S_m+n=（m+n）a₁+

(m+n)(m+n-1)

2

d

=（m+n）a₁+

m2+n2+2nm-m-n

2

d

=ma₁+

m(m-1)

2

d+na₁+

n(n-1)

2

d+mnd

=S_m+S_n+mnd；

（2）由条件，可得S_m=ma₁+

m(m-1)

2

d①，S_n=na₁+

n(n-1)

2

d②，

②×n-①×m得：

（m-n）sn=

1

2

nm（m-1）d-

1

2

mn（n-1）d，

整理得mnd=-2s_n，，

则S_m+n=S_m+S_n+mnd=2s_n-2s_n=0．

（3）类比得到等比数列的结论是：若各项均为正数的等比数列{b_n}的公比为q，前n项和为S_n，则对任意正整数m、n，都有s_m+n=s_m+q^ms_n．

证明如下：不妨设m≤n，则s_m+n=（b₁+b₂+…+b_m）+（b_m+1+b_m+2+…+b_n+m）

=s_m+（b₁q^m+b₂q^m+…+b_nq^m）

=s_m+q^m（b₁+b₂+…+b_n）

=s_m+q^ms_n，

∴s_m+n=s_m+q^ms_n．

问题解答如下：由s₂₀=s₁₀₊₁₀=s₁₀+q¹⁰s₁₀，得q¹⁰=

s20-s10

s10

=

15-5

5

=2，

则s₃₀=s₁₀₊₂₀=s₁₀+q¹⁰s₂₀=5+2×15=35，

∴s₅₀=s₂₀₊₃₀=s₂₀+q²⁰s₃₀=15+2²×35=155．