问题
解答题
已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(
（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以证明． （Ⅱ）令x1=
（Ⅲ）设Tn为{
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答案
（Ⅰ）∵对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(
)…①x-y 1-xy
∴令x=y=0得f（0）=0；（1分）
令x=0由①得f（-y）=-f（y），
用x替换上式中的y有f（-x）=-f（x）（2分）
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）
（Ⅱ）{f（xn）}满足x1=
＜1，则必有xn+1=1 2
＜2xn 1+ x 2n
=12xn 2xn
否则若xn+1=1则必有xn=1，依此类推必有x1=1，矛盾
∴0＜xn＜1（5分）
∴f(xn+1)=f(
)=f(2xn 1+ x 2n
)=f（xn）-f（-xn）=f（xn）+f（xn）=2f（xn）xn-(-xn) 1-xn•(-xn)
∴
=2，f(xn+1) f(xn)
又f(x1)=f(
)=11 2
∴{f（xn）}是1为首项，2为公比的等比数列，（7分）
∴f(xn)=2n-1（8分）
（Ⅲ）
=2n-1 f(xn)
=2×2n-1 2n-1
（9分）2n-1 2n
故Tn=2(
+1 2
+3 22
+…+5 23
)…②2n-1 2n
Tn=2×(1 2
+1 22
+3 23
+…+5 24
+2n-3 2n
)…③2n-1 2n+1
②-③得
Tn=2×(1 2
+1 2
+1 2
+1 22
+…+1 23
-1 2n-1
)=3-2n-1 2n+1
（11分）2n+3 2n
∴Tn=6-
＜6（12分）2n+3 2n-1
∴若Tn＜
对n∈N*恒成立，则须6-3m 2
≥6，解得m≤2（13分）6-3m 2
∴m的最大值为2． （14分）