问题
解答题
已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式； （2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数； （3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围． |
答案
（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-
=-2-x 4-x+1 2x 4x+1
由f（0）=f（-0）=-f（0），
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=
，
x∈(0，1]2x 4x+1 -
x∈[-1，0)2x 4x+1 0 x∈{0}
（2）证明当x∈（0，1]时，f（x）=
，设0＜x1＜x2＜1，2x 4x+1
则f（x1）-f（x2）=
-2x1 4x1+1
=2x2 4x2+1 (2x2-2x1)(2x1+x2-1) (4x1+1)(4x2+1)
∵0＜x1＜x2＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，1）上单调递减；
（3）f（x）=x+b在[-1，1]上有实数解，转化为b=f（x）-x，
f（x）-x在[-1，0），（0，1]上单调递减；
∴f（x）-x的值域为 (-
，-1 2
)∪(3 5
，3 5
)∪{0}，1 2
∴实数b的取值范围为(-
，-1 2
)∪(3 5
，3 5
)∪{0}．1 2