问题 选择题
设F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E,且E是直线EF1与⊙F2的切点,则椭圆的离心率为(  )
A.
3
2
B.
3
3
C.
5
4
D.
5
3
答案

∵F1、F2分别是椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,

与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E,且E是直线EF1与⊙F2的切点,

∴EF2=b,且EF1⊥EF2

∵E在椭圆上,∴EF1+EF2=2a.

又∵F1F2=2c,∴F1F22=EF12+EF22,即4c2=(2a-b)2+b2.将c2=a2-b2代入得b=

2
3
a.

e2=

c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-(
b
a
2=
5
9

∴椭圆的离心率e=

5
3

故选D.

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