设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求数列{

问题解答题

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}的公比q；

（Ⅱ）求证：a₃，a₉，a₆成等差数列；

（Ⅲ）当a_m，a_s，（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差数列时，求m+s+t的值．

答案

（Ⅰ）当q=1时，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁，

∵2S₉≠S₃+S₆，∴S₃，S₉，S₆不成等差数列，与已知矛盾，

∴q≠1．（2分）

由2S₉=S₃+S₆得：2•

a1(1-q9)

1-q

a1(1-q3)

1-q

a1(1-q6)

1-q

，（4分）

即2（1-q⁹）=（1-q³）+（1-q⁶）⇒2q⁶-q³-1=0，

∴q3=-

⇒q=-

，q³=1⇒q=1（舍去），∴q=-

3	4

（6分）

（Ⅱ）∵2a₉-a₃-a₆=2a₁q⁸-a₁q²-a₁q⁵=a₁q²（2q⁶-1-q³）=0，

∴2a₉=a₃+a₆，∴a₃，a₉，a₆成等差数列．（9分）

（Ⅲ）S₃，S₉，S₆成等差数列⇔2q⁶-q³-1=0⇔2q⁶=q³+1⇔2a₁q⁶=a₁q³+a₁⇔2a₇=a₄+a₁，

∴a₁，a₇，a₄成GP或a₄，a₇，a₁成GP，则m+s+t=12，（11分）

同理：a₂，a₈，a₅成GP或a₅，a₈，a₂成GP，

则m+s+t=15，a₃，a₉，a₆成GP或a₆，a₉，a₃成GP，

则m+s+t=18，a₄，a₁₀，a₇成GP或a₇，a₁₀，a₄成GP，

则m+s+t=21，∴m+s+t的值为12，15，18，21．　（15分）