（1）由已知得an+1+

1

4

=an+

1

4

+

an+ 1 4

+

1

4

，

∴4an+1+=4an+1+2

4an+1

+1，

∵bn=

4an+1

所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1

∴b_n+1=b_n+1，

所以数列{b_n}为等差数列；

（2）由（1）得：b_n+1=b_n+1且b₁=1，∴b_n=n，

即

4an+1

=n，∴an=

n2-1

4

，

∴cn=

1

an+1

=

4

n(n+2)

=2(

1

n

-

1

n+2

)，

则Sn=c1+c2+… +cn=2(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=3-

2(2n+3)

(n+1)(n+2)

；

（3）设存在m，n满足条件，则有1•a_n=a_m²

∴

n2-1

4

=(

m2-1

4

)2，

即4（n²-1）=（m²-1）²，

所以m²-1必为偶数，设为2t，

则n²-1=t²，∴n²-t²=1

∴（n-t）（n+t）=1，

∴有

n+t=1 n-t=1

或

n+t=-1 n-t=-1

，即n=1，t=0，

∴m²-1=2t=0，∴m=1与已知矛盾．

∴不存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列．