设三个连续的正整数的立方和为f（n）=（n-1）³+n³+（n+1）³

=3n³+6n

=3n³-3n+9n

=3n（n-1）（n+1）+9n

又∵当n≥2时，（n-1）n（n+1）是三个连续的整数的积，

所以必是3的倍数，所以3n（n-1）（n+1）能被9整除．

∴f（n）能被9整除

∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是9．