问题
解答题
| 如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列 （1）若a2，b2，c2成等差数列，证明b+c，c+a，a+b成调和数列； （2）设Sn是调和数列{
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答案
证明：（1）欲证b+c，c+a，a+b成调和数列，
只须证
=2 c+a
+1 b+c 1 a+b
只须证2（b+c）（a+b）=（c+a）（a+b）+（c+a）（b+c）
化简后，只须证2b2=a2+c2
因为a2，b2，c2成等差数列，所以2b2=a2+c2成立
所以b+c，c+a，a+b成调和数列
（2）Sn=1+
+1 2
+…+1 3 1 n
∴S2k=1+
+1 2
+…+1 3 1 2k ＞1+
+(1 2
+1 4
)+(1 4
+1 8
+1 8
+1 8
)1 8 +…+(
+1 2k
+ …+1 2k
)1 2k = 1+
+1 2
+…+1 2
=1+1 2 k 2
对于任一给定的N，欲使Sn＞N，
只须1+
＞N，k 2
即k＞2（N-1），
取m=[22（N-1）]+1（其中[22（N-1）]表示22（N-1）的整数部分），
则当n＞m时，Sn＞N．
（本题解法和答案不唯一）
