问题 解答题
已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=x+5-f(x),若对任意的x∈(-∞,-
3
4
]
g(
x
m
)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]
均成立,求实数m的取值范围.
答案

(Ⅰ)由f(x)≥0解集为{x|-2≤x≤3},可设f(x)=a(x+2)(x-3)=a(x2-x-6),且a<0

对称轴x=

1
2
,开口向下,f(x)min=f(-1)=-4a=4,解得a=-1,f(x)=-x2+x+6;…(5分)

(Ⅱ)g(x)=x+5+x2-x-6=x2-1,g(

x
m
)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]恒成立

x2
m2
-1-(x-1)2+1≤4[m2(x2-1)+m2-1]对x∈(-∞,-
3
4
]
恒成立

化简(

1
m2
-4m2)x2x2-2x-3,即
1
m2
-4m2
-
3
x2
-
2
x
+1
x∈(-∞,-
3
4
]
恒成立…(8分)

y=-

3
x2
-
2
x
+1,记t=
1
x
∈[-
4
3
,0)
,则y=-3t2-2t+1,

二次函数开口向下,对称轴为t0=-

1
3
,当t=-
4
3
ymin=-
5
3

1
m2
-4m2≤-
5
3
…(10分)

所以(3m2+1)(4m2-3)≥0,解得m≤-

3
2
m≥
3
2
…(12分)

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