已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)设g(x)=x+5-f(x),若对任意的x∈(-∞,-
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(Ⅰ)由f(x)≥0解集为{x|-2≤x≤3},可设f(x)=a(x+2)(x-3)=a(x2-x-6),且a<0
对称轴x=
,开口向下,f(x)min=f(-1)=-4a=4,解得a=-1,f(x)=-x2+x+6;…(5分)1 2
(Ⅱ)g(x)=x+5+x2-x-6=x2-1,g(
)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]恒成立x m
即
-1-(x-1)2+1≤4[m2(x2-1)+m2-1]对x∈(-∞,-x2 m2
]恒成立3 4
化简(
-4m2)x2≤x2-2x-3,即1 m2
-4m2≤-1 m2
-3 x2
+1对x∈(-∞,-2 x
]恒成立…(8分)3 4
令y=-
-3 x2
+1,记t=2 x
∈[-1 x
,0),则y=-3t2-2t+1,4 3
二次函数开口向下,对称轴为t0=-
,当t=-1 3
时ymin=-4 3
,5 3
故
-4m2≤-1 m2
…(10分)5 3
所以(3m2+1)(4m2-3)≥0,解得m≤-
或m≥3 2
…(12分)3 2