（Ⅰ）由Sn=2an+2n①，得Sn+1=2an+1+2n+1②，

②-①得，a_n+1=2a_n+1-2a_n+2ⁿ，即an+1-2an=-2n，

则

an+1

2n

-

an

2n-1

=

an+1-2an

2n

=

-2n

2n

=-1，为常数，

所以数列{

an

2n-1

}是等差数列，且公差为-1，

由S₁=2a₁+2解得a₁=-2，

所以

an

2n-1

=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，

所以an=-(n+1)•2n-1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=

(n-2011)an

n+1

=

(n-2001)[-(n+1)]•2n-1

n+1

=•2^n-1，

则bn+1=(2010-n)•2n，当n=2011时，b_n=0，

当n＞2011时，b_n＜0，令

bn+1

bn

=

(2010-n)•2n

(2011-n)•2n-1

=

2(2010-n)

2011-n

≥1，得n＞2011，所以b_n＞b_n+1，即b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，

当n≤2010时，b_n＞0，令

bn+1

bn

=

(2010-n)•2n

(2011-n)•2n-1

=

2(2010-n)

2011-n

≥1，解得n≤2009，

所以n≤2009时，b_n+1≥b_n，所以0＜b₁＜b₂＜b₃＜…＜b₂₀₀₉=b₂₀₁₀，

综上，b₁＜b₂＜b₃＜…b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，

所以数列{b_n}存在最大值项，为第2009项或2010项；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，Sn=2an+2n=2[-（n+1）•2^n-1]+2ⁿ=-n•2ⁿ，

所以|S_n|=n•2ⁿ，

则T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①，

2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹②，

①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，

所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，

所以

Tn+Sn

2

=

(n-1)2n+1+2-n•2n

2

=

(n-2)•2n+2

2

=（n-2）•2^n-1+1，

又

2-n

n+1

an=

2-n

n+1

•[-(n+1)•2n-1]=（n-2）•2^n-1，

所以

Tn+Sn

2

＞

2-n

n+1

an．