问题 解答题
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.如果函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)
有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)求实数b,c的值;
(2)已知各项不为零的数列{an}的前n项之和为Sn,并且4Sn•f(
1
an
)=1
,求数列{an}的通项公式;
(3)求证:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an
答案

(1)设

x2+a
bx-c
=x得:(1-b)x2+cx+a=0,由根与系数的关系,得:
2+0=-
c
1-b
2•0=
a
1-b

解得

a=0
b=1+
c
2
,代入解析式 f(x)=
x2
(1+
c
2
)x-c
,由 f(-2)=
-2
1+c
<-
1
2

得c<3,又c∈N,b∈N,若c=0,b=1,则f(x)=x不止有两个不动点,∴c=2,b=2,于是f(x)=

x2
2(x-1)
,(x≠1).

(2)由题设,知 4Sn

(
1
an
)
2
2(
1
an
-1)
=1,所以,2Sn=an-an2①;

且an≠1,以n-1代n得:2Sn-1=an-1-an-12,②;

由①-②得:2an=(an-an-1)-(an2-an-12),即(an+an-1)(an-an-1+1)=0,

∴an=-an-1或an-an-1=-1,以n=1代入①得:2a1=a1-a12

解得a1=0(舍去)或a1=-1;由a1=-1,若an=-an-1得a2=1,这与an≠1矛盾,

∴an-an-1=-1,即{an}是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴an=-n;

(3)由an=-n,知(1-

1
an
)an+1=(1+
1
n
)-(n+1)=(
n
n+1
)
n+1

(1-

1
an
)an=(1+
1
n
)-n=(
n
n+1
)n

当n=1时,(

n
n+1
)n+1=
1
4
(
n
n+1
)
n
=
1
2
(
n
n+1
)
n+1
1
e
(
n
n+1
)
n
成立.

假设n=k时,(

k
k+1
)k+1
1
e
(
k
k+1
)
k
成立,

则当n=k+1时,(

k+1
k+2
)k+2
1
e
(
k+1
k+2
)
k+1
成立.

所以,(1-

1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

单项选择题
单项选择题