（1）∵3^x＞0

3^x+1≠0函数f（x）的定义域为 R即（-∞，+∞）…（1分）

假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，

由f（0）=0得

2a-2

3x+1

=0解得a=1…（2分），

∴f(x)=

3x-1

3x+1

f(-x)=

3-x-1

3-x+1

=

1 3x -1

1 3x +1

=

1-3x

3x+1

=-

3x-1

3x+1

=-f(x)

∴当a=1时，函数f（x）为奇函数…（4分）

（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂

∵f(x)=a-

2

3x+1

f（x₁）-f（x₂）=a-

2

3x1+1

-(a-

2

3x2+1

)

=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1+1)-2(3x2+1)

(3x1+1)(3x2+1)

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

…（7分）

∵x₁＜x₂，

∴3x1＜3x2

∴3x1-3x2＜0

又∵3x1+1＞0，3x2+1＞0

f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）

∴不论a取何值，函数f（x）在其定义域上都是增函数．…（9分）

（3）由f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）

∵函数f（x）为奇函数

∴-f（2m-3）=f（3-2m）

∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）

由（2）已证得函数f（x）在R上是增函数

∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）⇔3m²-m+1＜3-2m

∴3m²+m-2＜0

∴（3m-2）（m+1）＜0

∴-1＜m＜

2

3

．

不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0的解集为{m|-1＜m＜

2

3

}．…（14分）