问题
解答题
已知定义在R上函数f(x)=
（1）对于任意t∈R不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围． （2）若对于任意实数，m，x，f(x)＜m2+2tm+t+
（3）若g（x）是定义在R上周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求g（x）=0的所有解． |
答案
（1）∵f（x）为奇函数，即f（0）=0
∴b=1，
且f（-x）+f（x）=0
∴a=2
∴f(x)=
=1-2x 2x+1+2
-1 2x+1
（2分）1 2
易证f（x）在R上单调递减（3分）
由f（t2-2t）＜f（k-2t2）得t2-2t＞k-2t2即k＜3t2-2t恒成立
又3t2-2t=3(t-
)2-1 3
≥-1 3 1 3
∴k＜-
（5分）1 3
（2）由f(x)=
-1 2x+1
单调递减可知f(x)∈(-1 2
，1 2
)1 2
又f(x)＜m2+2mt+t+
恒成立5 2
∴只需
≤m2+2mt+t+1 2
（7分）5 2
即m2+2mt+t+2≥0（m∈R）恒成立
∴4t2-4（t+2）≤0
即t2-t-2≤0∴t∈[-1，2]（9分）
（3）∵g（x）为奇函数g（-1）+g（1）=0
又g（x）的周期为2∴g（-1）=g（-1+2）=g（1）
∴g（-1）=g（1）=0（10分）
当x∈（-1，1）时g(x)=f(x)-x=
-1 2x+1
-x为单调递减1 2
∴g（0）=0（11分）
由g（x）的周期为2，∴所有解为x=n（n∈Z）（14分）