问题
解答题
已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{bn}满足：an=
（1）求数列{an}的通项公式和数列{bn}的通项公式； （2）设Cn=3n+λbn(n∈N•)，是否存在实数λ，当n∈N+时，Cn+1＞Cn恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由． |
答案
（1）取p=n，q=1，则an+1=an+a1=an+2
∴an+1-an=2（n∈N*）
∴{an}是公差为2，首项为2的等差数列
∴an=2n
∵an=
-b1 2+1
+b2 22+1
-b3 23+1
+…+(-1)n-1b4 24+1
（n≥1）①bn 2n+1
∴an-1=
-b1 2+1
+b2 22+1
-b3 23+1
+…+(-1)n-2b4 24+1
（n≥2）②bn-1 2n-1+1
①-②得：(-1)n-1
=2（n≥2）bn=（-1）n-1（2n+1+2）（n≥2）bn 2n+1
当n=1时，a1=
∴b1=6满足上式b1 3
∴bn=（-1）n-1（2n+1+2）（n∈N*）
（2）Cn=3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ
假设存在λ，使Cn+1＞Cn（n∈N*）3n+1+（-1）n（2n+2+2）•λ＞3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ[（-1）n（2n+2+2）-（-1）n-1（2n+1+2）]•λ＞3n-3n+1=-2•3n（-1）n（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n
当n为正偶函数时，（3•2n+1+4）λ＞-2•3n恒成立λ＞（-
）max=（-3n 3•2n+2
）max1 3•(
)n+2•(2 3
)n1 3
当n=2时（-
）max=-1 3•(
)n+2•(2 3
)n1 3 9 14
∴λ＞-9 14
当n为正奇数时，-（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n恒成立
∴λ＜（
）min=（3n 3•2n+2
）min1 3•(
)n+2•(2 3
)n1 3
当n=1时[
]min=1 3•(
)n+2•(2 3
)n1 3 3 8
∴λ＜3 8
综上，存在实数λ，且λ∈（-
，9 14
）（16分）3 8