问题
解答题
设函数f（x）=kx2-kx-6+k．
（1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
答案
（1）设f（x）=k（x2-x+1）-6=g（k），
则g（k）是关于k的一次函数，且一次项系数为x2-x+1…（2分）
法1、∵x2-x+1=(x-
)2+1 2
＞0∴g（k）在[-2，2]上递增．…（4分）3 4
∴g（k）＜0⇔g（2）=2（x2-x+1）-6＜0∴解得x的取值范围为：-1＜x＜2…（6分）
法2、依题只须
⇒g(2)=2x2-2x-4＜0 g(-2)=-2x2+2x-8＜0
∴-1＜x＜2-1＜x＜2 x2-x+4＞0(恒成立)
（2）法1、要使f（x）=k（x2-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
则只须k＜
在x∈[1，2]上恒成立；…（8分）6 x2-x+1
而当x∈[1，2]时：
=6 x2-x+1
≥6 (x-
)2+1 2 3 4
=2…（10分）6 22-2+1
∴k＜2…（12分）
法2、∵f(x)=k(x-
)2+1 2
k-6＜0在x∈[1，2]上恒成立3 4
∴
或k＞0 f(x)max=f(2)=3k-6＜0
或k＜0 f(x)max=f(1)=k-6＜0 k=0 f(x)=-6＜0
综上解得：k＜2