定义在R上的函数f（x）＞0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y）

问题解答题

定义在R上的函数f（x）＞0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x） f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．

（1）求f（0）的值；

（2）求证f（x）在R上是增函数；

（3）若f（k•3^x）f（3^x-9^x-2）＜1对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（1）令x=0，y=1，则f（0+1）=f（0）f（1），

∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）=1；

（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0

∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1

∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁）

∴f（x）在R上是增函数；

（3）∵f（x）在R上是增函数，f（k•3^x） f（3^x-9^x-2）=f（k 3^x+3^x-9^x-2）＜f（0），

∴3^2x-（1+k）•3^x+2＞0对任意x∈R成立．

∴1+k＜3^x+

∵3^x＞0，∴3^x+

≥2

∴k＜2

-1．