问题
解答题
设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
（1）求f(
（2）数列{an}满足：an=f（0）+f(
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答案
（1）∵f(x)=f(x-1)+
，且f（x）是奇函数1 2
∴f(
)=f(1 2
-1)+1 2
=f(-1 2
)+1 2
=-f(1 2
)+1 2 1 2
∴2f(
)=1 2
，故f(1 2
)=1 2
（3分）1 4
因为f(x)=f(x-1)+
=-f(1-x)+1 2
，所以f(x)+f(1-x)=1 2
．1 2
令x=
，得f(k n
)+f(1-k n
)=k n
，即f(1 2
)+f(k n
)=n-k n
．（6分）1 2
（2）令sn=f(0)+f(
)+…+f(1 n
)+f(1)n-1 n
又sn=f(1)+f(
)+…+f(n-1 n
)+f(0)1 n
两式相加2sn=[f(0)+f(1)]+[f(
)+f(1 n
)]+…+[f(1)+f(0)]=n-1 n
．n+1 2
所以sn=
，（6分）n+1 4
故an=sn-f(
)=1 2
-n+1 4
=1 4
，n∈N*（10分）n 4
又an+1-an=
-n+1 4
=n 4
．故数列{an}是等差数列．（12分）1 4