问题
解答题
| 已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题： （1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由； （2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数； （3）若y=k+
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答案
（1）函数f（x）在区间(-∞，
]上单调递减，在(1 2
，+∞)上单调递增；1 2
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y=-x3符合条件①：对于任意x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，
有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+
x1)2+1 2
x12]＞0，3 4
∴y1＞y2，故y=-x3是R上的减函数．
又因为y=-x3在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）易知y=k+
是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；x
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有
；a=k+ a b=k+ b
故a，b是x=k+
的两个不等根，即方程组为：x
有两个不等非负实根；x2-(2k+1)x+k2=0 x≥0 x≥k
设x1，x2为方程x2-（2k+1）x+k2=0的二根，则
，△=(2k+1)2-4k2＞0 x1+x2=2k+1＞0 x1x2=k2≥0 k＜0
解得：-
＜k＜01 4
∴k的取值范围(-
，0)．1 4