问题 解答题

椭圆C经过点P(3,0),Q(0,-1)

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程,并求出椭圆C的长轴长、短轴长、离心率和焦点坐标.

(Ⅱ)设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标.

答案

(Ⅰ)由已知可得a=3,b=1,∴c=

a2-b2
=2
2

椭圆的标准方程为

x2
9
+y2=1,

长轴长2a=6,短轴长 2b=2.

离心率e=

c
a
=
2
2
3

    焦点为(2

2
,0),(-2
2
,0).

(Ⅱ)

x2
9
+y2=1
y=x+2
得出10x2+36x+27=0

设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点坐标为(x0,y0

则x1+x2=-

18
5
,x0=
x1+x2
2
=-
9
5
,y0=x0+2=
1
5
∴线段AB的中点坐标为(-
9
5
1
5
)

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