甲系A公司业务员，负责A公司与B公司的业务往来事宜。2014年2月，甲离职，但A公司并未将这一情况通知B公司。2014年3月3日，甲仍以A公司业务员的名义到B公司购货，并向B公司交付了一张出票人为A公司、金额为30万元的支票，用于支付货款，但未在支票上记载收款人名称。之后，甲提走货物。后查明，支票上所盖A公司公章及其法定代表人人名章均系甲伪造。
B公司于2月20日与公益机构C基金会签订书面协议，约定捐赠30万元用于救灾。3月4日，B公司将该支票交付C基金会，但未在支票上作任何记载。
3月5日，C基金会为支付向D公司购买救灾物品的货款，将自己记载为收款人后，将支票背书转让给D公司。
3月6日，D公司将该支票背书转让给E公司，用于购买生产原料。后发现，E公司向D公司出售的原料存在严重质量问题。
3月10日，E公司将支票背书转让给F大学，用于设立奖学金。
3月11日，F大学向支票所记载的付款银行请求付款时，银行发现支票上A公司及其法定代表人的签章、印章系伪造，遂拒绝付款。
F大学先后向D、E公司进行追索，均遭拒绝。后F大学又向C基金会追索，C基金会向F大学承担票据责任后，分别向B公司和A公司追索，均遭拒绝。
要求：
根据上述内容，分别回答下列问题：
C基金会向F大学承担票据责任后，是否有权向B公司进行追索？是否有权要求B公司继续履行赠与义务？并分别说明理由。
