设x∈R，f（x）=(12)|x|，若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x

问题填空题

设x∈R，f（x）=(

)|x|，若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是______．

答案

∵f（x）=(

)|x|，

∴函数f（x）在区间（-∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，

且函数f（2x）在区间（-∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，

令F（x）=f（x）+f（2x），

根据函数单调性的性质可得F（x）=f（x）+f（2x）在区间（-∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，

故当x=0时，函数F（x）取最大值2，

若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，

则实数k的取值范围是k≥2

故答案为：k≥2