问题
解答题
已知数列{an}、{bn}满足：a1=
（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4； （Ⅱ）设cn=
（Ⅲ）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数的取值范围． |
答案
（本题14分）
（Ⅰ） SnSn+2-S2n+1=m(Sn+Sn+2-2Sn+1)，
∵[lg（Sn-m）+lg（Sn+2-m）]=2lg（Sn+1-m），
∴b2=
，b3=4 5
，b4=5 6
．…（4分）6 7
（Ⅱ）∵bn+1-1=
-1，1 2-bn
∴
=1 bn+1-1
=-1+2-bn bn-1
，…（5分）1 bn-1
∴数列{cn}是以-4为首项，-1为公差的等差数列．
∴cn=-4+（n-1）•（-1）=-n-3．…（7分）
（Ⅲ）由于cn=
=-n-3，1 bn-1
所以bn=
，n+2 n+3
从而an=1-bn=
..…（8分）1 n+3
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=
+1 4×5
+…1 5×6
=1 (n+3)(n+4)
-1 4
=1 n+4 n 4(n+4)
∴4aSn-bn=
-an n+4
=n+2 n+3
…（10分）(a-1)n2+(3a-6)n-8 (n+3)(n+4)
由条件知（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，
设f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8，
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，
当a＜1时，对称轴 n=-
•3 2
=-a-2 a-1
(1-3 2
)＜0，1 a-1
f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．
f（1）=（a-1）n2+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，
∴a＜
，15 4
∴a＜1时4aSn＜bn恒成立
综上知：a≤1时，4aSn＜bn恒成立…（14分）