问题
解答题
已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）≥-x2+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
答案
（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
∵f′(x)=1+lnx＜0⇒0＜x＜
，1 e
∴函数f（x）的减区间为(0，
)．1 e
（2）∵f（x）≥-x2+ax-6在（0，+∞）上恒成立，
∴xlnx≥-x2+ax-6⇒a≤x+lnx+
，g(x)=x+lnx+6 x
，6 x
g′(x)=
，x2+x-6 x2
当x＞2时，g（x）是增函数，
当0＜x＜2时，g（x）是减函数，
∴a≤g（2）=5+ln2．
即实数a的取值范围是（-∞，5+ln2）．