问题
填空题
已知函数f（x）=2x（x∈R），且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数．若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是______．
答案
∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数
∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
又∵由h（x）+g（x）=2x，
h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2-x，
∴h（x）=
(2x+2-x)，g（x）=1 2
(2x-2-x)1 2
不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简为a(2x-2-x)+
(22x+2-2x)≥0，x∈[1，2]1 2
∵1≤x≤2∴2x-2-x＞0
令t=2-x-2x，
整理得：a≥
=22x+2-2x 2(2-x-2x)
=(2x-2-x)2+2 2(2-x-2x)
+1 2-x-2x 2-x-2x 2
=
t+1 2
=1 t
（t+1 2
），则由-2 t
≤t≤-15 4
可知y=3 2
（t+1 2
）在[-2 t
，-15 4
]单调递增3 2
∴当t=-
时，ymax=-3 2 17 12
因此，实数a的取值范围是a≥-17 12
故答案为a≥-17 12