（1）当溶液中存在大量H⁺时，因H⁺与CO₃^2-反应生成水和二氧化碳气体CO₃^2-+2H⁺═H₂O+CO₂↑，则不能共存；

当溶液中存在大量的Ba²⁺时，碳酸根离子和钡离子反应生成碳酸钡沉淀Ba²⁺+CO₃^2-═BaCO₃↓，硫酸根离子和钡离子反应生成硫酸钡沉淀Ba²⁺+SO₄^2-═BaSO₄↓，所以与Ba²⁺反应生成沉淀的CO₃^2-、SO₄^2-离子不能大量存在，

故答案为：CO₃^2-；CO₃^2-、SO₄^2-；

（2）①因除去CO₃^2-一般将其转化为气体，溶液中的阴离子为SO₄^2-，所以选用H₂SO₄，反应的离子方程式为CO₃^2-+2H⁺═CO₂↑+H₂O，

故答案为：H₂SO₄ ；CO₃^2-+2H⁺═CO₂↑+H₂O；

②因除去SO₄^2-一般用Ba²⁺将其转化为沉淀，溶液中的阴离子为Cl^-，所以选用BaCl₂，反应的离子方程式为Ba²⁺+SO₄^2-═BaSO₄↓，

故答案为：BaCl₂；Ba²⁺+SO₄^2-═BaSO₄↓；

（3）氧化还原反应的实质是电子转移或电子对偏移，元素的化合价降低，发生的是还原反应，氧化还原反应中，元素失去电子化合价升高，化合价升高元素所在的反应物是还原剂，发生氧化反应；化合价降低元素所在的反应物是氧化剂，发生还原反应；

①C+CO₂

△ .

2CO化合价变化的元素是C元素，一个是从C中0价升高的+2价，一个是从CO₂中+4价降到+2价，电子转移发生在不同价态的同种元素之间；

②NH₄NO₃

△ .

N₂O↑+2H₂O化合价变化的元素是N元素，一个是从NH₄⁺中-3价升高的+1价，一个是从NO₃^-中+5价降到+1价，电子转移发生在不同价态的同种元素之间；

③2KClO₃

MnO2 .

△

2KCl+3O₂↑化合价升高的元素是O元素，化合价降低的是Cl元素，电子转移发生在不同元素之间；

④S+2KNO₃+3C═K₂S+N₂↑+3CO₂↑化合价升高的元素是C元素，化合价降低的是S和N元素，电子转移发生在不同元素之间；

⑤3Cl₂+6NaOH

△ .

5NaCl+NaClO₃+3H₂O化合价变化的只有0价的Cl元素，所以电子转移发生在相同价态的Cl元素之间；

⑥HgS+O₂

△ .

Hg+SO₂化合价升高的元素是S元素，化合价降低的是Hg元素，所以电子转移发生在不同元素之间；

故答案为：升高；还原；①②；③④⑥；