椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A1、A2、B1、B2分别为椭圆C

问题解答题

椭圆C：

=1（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．
（1）设点M（x₀，0），若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A₁、A₂处时，|PM|取得最大值与最小值，求x₀的取值范围；
（2）若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l，且与直线l：y=kx+m相交于A，B两点（A，B不是椭圆的左右顶点），并满足AA₂⊥BA₂．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．

答案

（1）设P（x，y）且

=1（a＞b＞0）

则f(x)=|PM|2=(x-x0)2+y2=

x2-2x0x+x02+b2，则对称轴方程为x=

x0，

由题意只有当

a2x0

≥a或

a2x0

≤-a时满足题意，所以x0≥

或x0≤-

故x₀的取值范围是(-∞，-

]∪[

，+∞)．

（2）因为|c|＞

所以由（1）得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3．

∴椭圆的标准方程为

=1．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+m

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，

△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0

x1+x2=

8mk

3+4k2

x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=

3(m2-4k2)

3+4k2

，

因为椭圆的右顶点为A₂（2，0），∴kAA2kBA2=-1，即

x1-2

y21

x2-2

=-1，

y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，

∴

3(m2-4k2)

3+4k2

4(m2-3)

3+4k2

16mk

3+4k2

+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0．

解得：m₁=-2k，m₂=-

，且均满足3+4k²-m²＞0，

当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；

当m₂=-

时，l的方程为y=k（x-

），直线过定点（

，0）．

所以，直线l过定点，定点坐标为（

，0）．