问题
解答题
已知f（x）=ax+
（1）求a，b满足的关系式； （2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围； （3）若a=1，数列{an}满足a1=2，an+1=f（an）+2-an（n∈N*），求证：a1•a2•a3…an=n+1． |
答案
（1）求导函数可得f′（x）=a-
，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2；b x2
（2）由（1）知，f（x）=ax+
+2-2a，a-2 x
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+
+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）a-2 x
则g（1）=0，g′（x）=a(x-1)(x-
)2-a a x2
①当0＜a＜1时，
＞1，若1＜x＜2-a a
，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜2lnx在[1，+∞）上恒成立；2-a a
②a≥1时，
≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．2-a a
综上所述，所求的取值范围是[1，+∞）；
（3）证明：取a=1得f（x）=x-
，所以an+1=f（an）+2-an=2-1 x 1 an
∴an+1-1=
，∴an-1 an
=1 an+1-1
+11 an-1
∴{
}是等差数列，首项为1 an-1
=1，公差为1，1 a1-1
∴
=n，∴an=1 an-1 n+1 n
∴a1•a2•…an=
•2 1
•…•3 2
=n+1．n+1 n