（1）∵过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），∴M(-c，

b2

a

)，

∵AB∥OM，所以k_AB=k_OM，即-

b

a

=-

b2

ac

，从而得到b=c，a=

2

c，

∴离心率e=

2

2

．

（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n

∴cos∠F1QF2=

m2+n2-4c2

2mn

=

4a2-4c2-2mm

2mn

=

2b2

mn

-1，

又因为mn≤(

m+n

2

)2=a2，所以0≤cos∠F₁QF₂≤1，所以∠F1QF2∈[0，

π

2

]．

（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

∵kAB=-

2

2

，所以kF2Q=

2

，所以直线F₂Q的方程：y=

2

（x-c）

直线与椭圆联立

y= 2 (x-c) x2+2y2=2c2

，消元可得5x²-8cx+2c²=0

∴△=24c²＞0，x1+x2=

8c

5

，x1x2=

2

5

c2，

由弦长公式可得|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

3

64c2 25 -4× 2 5 c2

=

6 2

5

c，

又因为F₁到直线y=

2

(x-c)的距离d=

2 6

3

c，

因为S=

1

2

×

2 6

3

×

6 2

5

c2=

4 3

5

c2=20

3

，所以c²=25，b²=25，a²=50，

所以椭圆的方程为

x2

50

+

y2

25

=1．