问题
填空题
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)=
（1）函数f(x)=
（2）计算f(
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答案
（1）依题意，得：f′（x）=x2-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=
，1 2
又 f（
）=1，1 2
∴函数f(x)=
x3-1 3
x2+3x-1 2
的对称中心为（5 12
，1）；1 2
（2）由（1）知，若（a，b）与（c，d）为f（x）图象上的点，且关于点（
，1）对称，则有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，1 2
设S=f(
)+f(1 2011
)+f(2 2011
)+f(3 2011
)+…+f(4 2011
)，2010 2011
又S=f（
）+f（2010 2011
）+f（2009 2011
）+f（2008 2011
）+…+f（2007 2011
），1 2011
所以2S=[f（
）+f（1 2011
）]+…+[f（2010 2011
）+f（2010 2011
）]=2×2010，1 2011
所以S=2010，即f(
)+f(1 2011
)+f(2 2011
)+f(3 2011
)+…+f(4 2011
)=2010．2010 2011
故答案为：（1）（
，1）；（2）2010．1 2