当x≥0时，f（x）=1-5^-x单调递增，当x＜0时，f（x）=5^x-1单调递增，且1-5^-0=0=5⁰-1，

所以f（x）在R上单调递增；

当x≥0时，-x≤0，f（-x）=5^-x-1=-（1-5^-x）=-f（x），

当x＜0时，-x＞0，f（-x）=1-5^x=-（5^x-1）=-f（x），

所以f（-x）=-f（x），

故f（x）为奇函数，

综上，f（x）递增函数且为奇函数，

故选A．