| （注：本题第（2）（3）两问只需要解答一问，两问都答只计第（2）问得分） 已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）． （1）求实数a、b的值； （2）若k∈Z，且k＜
（3）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：（nmm）n＞（mnn）m． |
（1）∵函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即a（-x）+（-x）ln|-x+b|=-（ax+xln|x+b|）…（2分），
∴ln|-x+b|=ln|x+b|，从而b=0…（3分），
此时f（x）=ax+xln|x|，f′（x）=a+1+ln|x|…（4分），
依题意f′（e）=a+2=3，所以a=1…（5分）
（2）当x＞1时，设g(x)=
=f(x) x-1
，则g′(x)=x+xlnx x-1
…（6分）x-2-lnx (x-1)2
设h（x）=x-2-lnx，则h′(x)=1-
＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数…（8分）1 x
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，所以∃x0∈（3，4），使h（x0）=0…（10分），
x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，即g（x）在（1，x0）上为减函数；同
理g（x）在（x0，+∞0）上为增函数…（12分），
从而g（x）的最小值为g(x0)=
=x0…（13分）x0+x0lnx0 x0-1
所以k＜x0∈（3，4），k的最大值为3…（14分）．
（3）证明：要证（nmm）n＞（mnn）m，即要证nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn…（6分），
即证n（1-m）lnn＞m（1-n）lnm，
＜nlnn n-1
…（8分），mlnm m-1
设ϕ(x)=
，x＞1…（9分），则ϕ/(x)=xlnx x-1
…（10分）x-1-lnx (x-1)2
设g（x）=x-1-lnx，则ϕ ′(x)=
…（11分），g（x）在（1，+∞0）上为增函数…（12分），x-1-lnx (x-1)2
∀x＞1，g（x）＞g（1）=1-1-ln1=0，从而ϕ′（x）＞0，ϕ（x）在（1，+∞0）上为增函数…（13分），
因为m＞n＞1，所以ϕ（n）＜ϕ（m），
＜nlnn n-1
，mlnm m-1
所以（nmm）n＞（mnn）m…（14分）