问题
解答题
已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R），g（x）=
（I）当a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围； （II）设x1，x2是函数y=f（x）的两个零点，且x1＜x2求证
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答案
（I）∵a=-1，∴f（x）=lnx+x2-bx
由题意可知，f（x）与g（x）的定义域均为（0，+∞）
∵g′（x）=
-2(x+1)-(2x-2) (x+1)2 1 x
-4 (x+1)2
=1 x
=--x2+2x-1 x(x+1)2
≤ 0，(x-1)2 x(x+1)2
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
又a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反
∴f（x）=lnx-ax2-bx在（0，+∞）上单调递增
∴f′（x）=
+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，1 x
即b≤
+2x对x∈（0，+∞）恒成立，1 x
∴只需b≤（
+2x）max，1 x
∵x＞0∴
+2x≥21 x
（当且仅当x=2
时，等号成立）2 2
∴b≤2
，∴b的取值范围（-∞，22
）；2
（II）由已知可得f(x1)=lnx1- a
-bx1=0x 12 f(x2)=lnx2- a
bx2=0x 22
∴
∴lnlnx1=a
+bx1x 21 lnx2= a
+bx2x 22
= a(x1+x2)(x1-x2) +b(x1-x2)x1 x2
即ln
= (x1-x2)[a(x1+x2) +b]∴a（x1+x2）+b=x1 x2
ln1 x1-x2 x1 x2
从而
-[a(x1+x2)+b] =2 x1+x2
-2 x1+x2
ln1 x1-x2 x1 x2
=
[1 x1-x2
-ln2(x1-x2) x1+x2
]x1 x2
=
[-1 x1-x2
-ln2(
-1)x1 x2
+1x1 x2
]，x1 x2
∵g（x）=
-lnx在（0，+∞）上单调递减，且2x-2 x+1
＜1x1 x2
∴当0＜t＜1时，g（t）＞g（1）=0
∴
-ln2(x1-x2) x1+x2
＞0，x1 x2
又
＜ 0，1 x1-x2
∴
-[a(x1+x2)+b] ＜0即2 x1+x2
＜a(x1+x2) +b2 x1+x2
即证．