（Ⅰ）当k=0时，f（x）=e^2x-1-2x，

f^′（x）=2e^2x-2，

令f^′（x）＞0，则2e^2x-2＞0，解得：x＞0．

令f^′（x）＜0，则2e^2x-2＜0，解得：x＜0．

所以，函数f（x）=e^2x-1-2x的单调增区间为（0，+∞）．

单调减区间为（-∞，0）．

（Ⅱ）由函数f（x）=e^2x-1-2x-kx²，

则f^′（x）=2e^2x-2kx-2=2（e^2x-kx-1），

令g（x）=e^2x-kx-1，

则g^′（x）=2e^2x-k．

由x≥0，

所以，①当k≤2时，g^′（x）≥0，g（x）为增函数，而g（0）=0，

所以g（x）≥0，即f^′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，

而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

②当k＞2时，令g^′（x）＜0，即2e^2x-k＜0，则0≤x＜

1

2

ln

k

2

．

即g（x）在[0，

1

2

ln

k

2

）上为减函数，而g（0）=0，所以，g（x）在[0，

1

2

ln

k

2

）上小于0．

即f^′（x）＜0，所以，f（x）在[0，

1

2

ln

k

2

）上为减函数，而f（0）=0，故此时f（x）＜0，不合题意．

综上，k≤2．

（Ⅲ）

e2n-1

e2-1

≥

2n3

3

+

n

3

．

事实上，由（Ⅱ）知，f（x）=e^2x-1-2x-2x²在[0，+∞）上为增函数，

所以，e^2x≥2x²+2x+1=x²+（x+1）²，

则e⁰≥1²

e²≥1²+2²

e⁴≥2²+3²

e⁶≥3²+4²

…

e^2（n-1）≥（n-1）²+n²

累加得：1+e²+e⁴+e⁶+…+e^2（n-1）≥2（1²+2²+3²+…+（n-1）²）+n²．

即

1-e2n

1-e2

≥2×

(n-1)n(2n-1)

6

+n2．

所以，

e2n-1

e2-1

≥

2n3

3

+

n

3

．