已知函数f(x)=e2x-1-2x-kx2 (Ⅰ)当k=0时,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若x≥0时,f(x)≥0恒成立,求k的取值范围. (Ⅲ)试比较
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(Ⅰ)当k=0时,f(x)=e2x-1-2x,
f′(x)=2e2x-2,
令f′(x)>0,则2e2x-2>0,解得:x>0.
令f′(x)<0,则2e2x-2<0,解得:x<0.
所以,函数f(x)=e2x-1-2x的单调增区间为(0,+∞).
单调减区间为(-∞,0).
(Ⅱ)由函数f(x)=e2x-1-2x-kx2,
则f′(x)=2e2x-2kx-2=2(e2x-kx-1),
令g(x)=e2x-kx-1,
则g′(x)=2e2x-k.
由x≥0,
所以,①当k≤2时,g′(x)≥0,g(x)为增函数,而g(0)=0,
所以g(x)≥0,即f′(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数,
而f(0)=0,所以f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
②当k>2时,令g′(x)<0,即2e2x-k<0,则0≤x<
ln1 2
.k 2
即g(x)在[0,
ln1 2
)上为减函数,而g(0)=0,所以,g(x)在[0,k 2
ln1 2
)上小于0.k 2
即f′(x)<0,所以,f(x)在[0,
ln1 2
)上为减函数,而f(0)=0,故此时f(x)<0,不合题意.k 2
综上,k≤2.
(Ⅲ)
≥e2n-1 e2-1
+2n3 3
.n 3
事实上,由(Ⅱ)知,f(x)=e2x-1-2x-2x2在[0,+∞)上为增函数,
所以,e2x≥2x2+2x+1=x2+(x+1)2,
则e0≥12
e2≥12+22
e4≥22+32
e6≥32+42
…
e2(n-1)≥(n-1)2+n2
累加得:1+e2+e4+e6+…+e2(n-1)≥2(12+22+32+…+(n-1)2)+n2.
即
≥2×1-e2n 1-e2
+n2.(n-1)n(2n-1) 6
所以,
≥e2n-1 e2-1
+2n3 3
.n 3