问题 解答题
已知函数f(x)=e2x-1-2x-kx2
(Ⅰ)当k=0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若x≥0时,f(x)≥0恒成立,求k的取值范围.
(Ⅲ)试比较
e2n-1
e2-1
2n3
3
+
n
3
(n为任意非负整数)的大小关系,并给出证明.
答案

(Ⅰ)当k=0时,f(x)=e2x-1-2x,

f(x)=2e2x-2,

令f(x)>0,则2e2x-2>0,解得:x>0.

令f(x)<0,则2e2x-2<0,解得:x<0.

所以,函数f(x)=e2x-1-2x的单调增区间为(0,+∞).

单调减区间为(-∞,0).

(Ⅱ)由函数f(x)=e2x-1-2x-kx2

则f(x)=2e2x-2kx-2=2(e2x-kx-1),

令g(x)=e2x-kx-1,

则g(x)=2e2x-k.

由x≥0,

所以,①当k≤2时,g(x)≥0,g(x)为增函数,而g(0)=0,

所以g(x)≥0,即f(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数,

而f(0)=0,所以f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.

②当k>2时,令g(x)<0,即2e2x-k<0,则0≤x<

1
2
ln
k
2

即g(x)在[0,

1
2
ln
k
2
)上为减函数,而g(0)=0,所以,g(x)在[0,
1
2
ln
k
2
)上小于0.

即f(x)<0,所以,f(x)在[0,

1
2
ln
k
2
)上为减函数,而f(0)=0,故此时f(x)<0,不合题意.

综上,k≤2.

(Ⅲ)

e2n-1
e2-1
2n3
3
+
n
3

事实上,由(Ⅱ)知,f(x)=e2x-1-2x-2x2在[0,+∞)上为增函数,

所以,e2x≥2x2+2x+1=x2+(x+1)2

则e0≥12

e2≥12+22

e4≥22+32

e6≥32+42

e2(n-1)≥(n-1)2+n2

累加得:1+e2+e4+e6+…+e2(n-1)≥2(12+22+32+…+(n-1)2)+n2

1-e2n
1-e2
(n-1)n(2n-1)
6
+n2

所以,

e2n-1
e2-1
2n3
3
+
n
3

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