问题
解答题
集合Mk（k≥0）是满足下列条件的函数f（x）全体：如果对于任意的x1，x2∈（k，+∞），都有f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）．
（1）函数f（x）=x2是否为集合M0的元素，说明理由；
（2）求证：当0＜a＜1时，函数f（x）=ax是集合M1的元素；
（3）对数函数f（x）=lgx∈Mk，求k的取值范围．
答案
（1）取x1=2，x2=3∈（0，+∞），…1分
f（x1）=22=4，f（x2）=32=9，f（x1+x2）=52=25＞f（x1）+f（x2），…1分
∴函数f（x）=x2不是集合M0的元素．…1分
（2）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），
f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）=ax1+ax2-ax1+x2…1分
=1-(1-ax1)(1-ax2)，…1分
∵0＜a＜1，x1＞1，根据指数函数的性质，得0＜ax1＜1，∴0＜1-ax1＜1，
同理，0＜1-ax2＜1，∴0＜(1-ax1)(1-ax2)＜1，∴1-(1-ax1)(1-ax2)＞0．
∴f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），∴函数f（x）=ax是集合M1的元素．…2分
（3）∵对数函数f（x）=lgx∈Mk，∴任取x1，x2∈（k，+∞），f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）成立，
即lgx1+lgx2=lg（x1•x2）＞lg（x1+x2）成立，
∴x1•x2＞x1+x2对一切x1，x2∈（k，+∞）成立，…1分
∴1＞
+1 x1
对一切x1，x2∈（k，+∞）成立，1 x2
∵x1，x2∈（k，+∞），∴
+1 x1
∈（0，1 x2
），2 k
∴
≤1，∴k≥2．…2分．2 k