（1）由题意可得：f（-x）=-f（x），

所以loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0对任意x∈D恒成立，

即（m²-1）x²=0恒成立，

所以m=±1，

当m=1时，函数无意义，故舍去，

∴m=-1；

（2）由（1）可得：f(x)=loga

x+1

x-1

，并且f（x）在（1，+∞）上单调递增．

证明：设1＜x₁＜x₂，则

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵1＜x₁＜x₂，

∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，

∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，即

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

＞0，

又∵0＜a＜1，

∴loga

x1+1

x1-1

＜loga

x2+1

x2-1

，即f（x₁）＜f（x₂）

∴函数f(x)=loga

x+1

x-1

在（1，+∞）上单调递增．