问题
解答题
已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）＞a在x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
答案
（1）设f（x）=ax2+bx+c∵f（0）=0∴c=0
∴f（x）=ax2+bxf（x）+x+1=ax2+（b+1）x+1f（x+1）
=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b∵f（x+1）
=f（x）+x+1∴ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1
∴
⇒2a+b=b+1 a+b=1
∴f(x)=a= 1 2 b= 1 2
x2+1 2
x1 2
（2）f（x）＞a在x∈[-1，1]恒成立
∴
x2+1 2
x＞a在x∈[-1，1]恒成立1 2
∴a＜
(x+1 2
)2+(-1 2
)在x∈[-1，1]恒成立．1 8
[
(x+1 2
)2-1 2
]min=-1 8
(-1≤x≤1)1 8
∴a＜-1 8