问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx+c为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线9x+y-2=0平行，导函数f'（x）的最小值为-12．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
答案
（Ⅰ）∵函数f（x）=ax3+bx+c为奇函数，∴c=0且f'（x）=3ax2+b
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线9x+y-2=0平行，
∴f′（1）=-9，即3a+b=-9 …①
又∵导函数f'（x）的最小值为-12∴a＞0且b=-12 …②
由①②解出 a=1，b=-12，∴f（x）=x3-12x …（6分）
（Ⅱ）∵f′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2）
∴令f′（x）=0，得x=-2或x=2．列表如下：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，2） | 2 | （2，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
极小值为f（2）=-16…（12分）