解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，

所以f（-1）=f（-1+2）=f（1），且f（-1）=-f（1），于是f（-1）=0．…（2分）

当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），f（x）=-f（-x）=-（2^-x+2^x）=-2^x-2^-x．…（5分）

所以f（x）在[-1，0）上的解析式为f(x)=

（2）f（x）在（-2，-1）上是单调增函数．…（9分）

先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．

[方法1]设0＜x₁＜x₂＜1，

则f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2x2+2-x2=(2x1-2x2)(1-

因为0＜x₁＜x₂＜1，所以2x1＜2x2，  2x1+x2＞1，于是2x1-2x2＜0，  1-

从而f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）

因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）

[方法2]当x∈（0，1）时，f'（x）=（2^x-2^-x）ln2．

因为ln2＞0，2^x-2^-x＞0，所以f'（x）=（2^x-2^-x）ln2＞0，

所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）

因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）

[注]第（2）小题亦可利用周期性求出f（x）=2^x+2+2^-x-2（-2＜x＜-1），再利用定义或导数确定单调性．