（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k-1=0，即k=1，

故f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）

∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．

f′（x）=a^xlna+

lna

ax

∵a＞1，∴lna＞0，而a^x+

1

ax

＞0，

∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增

原不等式化为：f（x²+2x）＞f（4-x），

∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0

∴x＞1或x＜-4，

∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}．

（2）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，∴a=2或a=-

1

2

（舍去）．

∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．

令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数

∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，

令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

3

2

）

若m≥

3

2

，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2

若m＜

3

2

，当t=

3

2

时，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，

解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去

综上可知m=2．