（1）在△MF₁F₂中，MF₁²+MF₂²-2MF₁•MF₂cos∠F₁MF₂=4c²

即：（MF₁+MF₂）²-3MF₁•MF₂=4c²

即：4a²-3MF₁•MF₂=4c²，则3MF₁•MF₂=4a²-4c²MF1•MF2≤(

MF1+MF2

2

)2=a2，当且仅当MF₁=MF₂=a时，取等号

∴4a²-4c²≤3a²，即a²≤4c²

∴e2≥

1

4

即e∈[

1

2

，1)（5分）

（2）令OP=m，则m∈[b，a]（10分）

又PF₁+PF₂=2a

在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF₁²与PF₂²两式相加可得：PF₁²+PF₂²=2m²+2c²

则（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²）

∴t=

2 m2+c2-a2

m

=2

1- a2-c2 m2

∵m∈[b，a]，∴

a2-c2

a2

≤

a2-c2

m2

≤

a2-c2

b2

即0≤1-

a2-c2

m2

≤

c2

a2

，

∴t的取值范围是0≤t≤

2c

a

．     （16分）