（文科做）已知等差数列{an}{和正项等比数列{bn}，a1=b1=1，a3=b

问题解答题

（文科做）已知等差数列{a_n}{和正项等比数列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃=b₃=2．

（1）求a_n，b_n；

（2）设cn=an•bn2，求数列{c_n}的前n项和S_n；

（3）设{a_n}的前n项和为T_n，是否存在常数P、c，使a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立？若存在，求P、c的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）由a₃=a₁+2d，得d=

-------（1分）

由b₃=b₁q²且q＞0得q=

----（2分）

所以a_n=a₁+（n-1）d=

n+1

，b_n=b₁q^n-1=2

n-1

-------（4分）

（2）因为c_n=（n+1）2^n-2--------------------------（5分）

故Sn=2•2-1+3•20+4•21+…+(n+1)•2n-2-----------------①

2Sn=2•20+3•21+4•22+…+n•2n-2+(n+1)•2n-1---------------------------②

所以①-②得：-Sn=1+1+2+22+…+2n-1-(n+1)•2n-1--------------------------（7分）

所以Sn=n•2n-1--------------------------（9分）

（3）Tn=

b1(1-qn)

1-q

+1)(2

-1)-------（10分），

a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立，

则当n=1，n=3时，有

1=plog2(1+c)

2=p+log2(1+

+2+c)

-----（12分），

解得c=

+1，p=log2(2-

)-------（13分）

p+log₂（T_n+c）=log₂（2-

）+log2[(

+1)(2

-1)+(

+1)]=log2(

×2

n+1

------（15分）

所以，当c=

+1，p=log2(2-

)时，a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立-------（16分）