问题
解答题
| 已知曲线C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），O为坐标原点． （Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆且离心率e＞
（Ⅱ）设m=4，直线l过点（0，1）且与曲线C交于不同的两点A、B，求当△ABO的面积取得最大值时直线l的方程． |
答案
（I）方程化为
+x2 8 5-m
=1，∵是焦点在x轴点上的椭圆，y2 8 m-2
∴m-2＞5-m＞0⇒
＜m＜57 2
∵e=
＞c a
⇒4c2＞2a2⇒a2＞2b2⇒m＞4，2 2
∴m的取值范围是4＜m＜5．
（II）当m=4时，曲线C的方程为：
+x2 8
=1，y2 4
①当倾斜角为
时，三角形不存在；π 2
②当斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，则原点O到直线的距离d=
，1 1+k2
设A（x1，y1），B（x2，y2）为直线与椭圆的两个交点，
联立直线和椭圆方程
消去y可得（2k2+1）x2+4kx-6=0，y=kx+1 x2+2y2=8
则x1+x2=
，x1x2=-4k 1+k2
，|AB|=-6 1+2k2 (1+k2)[(
)2+-4k 1+2k2
]24 1+2k2
S=
d|AB|=1 2 1 2 1
)(1+k2 (1+k2)[(
)2+-4k2 1+2k2
]24 1+2k2
=1 2
=(
)2+-4k 1+2k2 24 1+2k2
=
+4k2 (1+2k2)2 6 1+2k2 16k2+6 (1+2k2)2
令t=
，t∈（0，1]；1 1+2k2
S=
=16k2+6 (1+2k2)2
=16k2+8-2 (1+2k2)2
-8 1+2k2
=-2t2+8t=8-2（t-2）2，2 (1+2k2)2
在（0，1]单调递增，
∴当t=1时上式为最大值，最大值是6，此时k=0，直线方程为y=1．