问题
解答题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程； （2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？ （3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值． |
答案
（1）∵椭圆
+x2 a2
=1（a＞b＞0）的离心率为y2 b2
，且经过点P（1，1 2
），3 2
∴
，即
=a2-b2 a 1 2
+1 a2
=19 4b2
，解得3a2-4b2=0
+1 a2
=19 4b2
，a2=4 b2=3
∴椭圆C的方程为
+x2 4
=1．y2 3
（2）易求得F（1，0）．设M（x0，y0），则
+x 20 4
=1，-2＜x0＜2y 20 3
圆M的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=（1-x0）2+y02，
令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，△=4y02-4（2x0-1）＞0①．
将y02=3（1-
）代入①，得3x02+8x0-16＜0，解出-4＜x0＜x 20 4
．4 3
∴-2＜x0＜
．4 3
（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1＜y2．由（2），得
DE=y2-y1=
=
-4(2x0-1)4y 20
=-3
-8x0+16x 20
，-3(x0+
) 2+4 3 64 3
当x0=-
时，DE的最大值为4 3
．8 3 3