问题
解答题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程； （2）若P为椭圆C上的点，求∠F1PF2的范围． |
答案
（1）直线y=x+2与x的交点的坐标为（-2，0），则F1的坐标为（-2，0）．…（2分）
设焦距为2c，则c=2．∵e=
=c a
∴a=4，b2=a2-c2=12．…（5分）1 2
则椭圆的方程为
+x2 16
=1．…（6分）y2 12
（2）当P在椭圆的右顶点时，∠F1PF2=0（7分）
当P不在椭圆的右顶点时，由定义可知，8=PF1+PF2≥2PF1•PF2
∴
≥1 PF1•PF2
当且仅当PF1=PF2时等号成立1 16
△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2=
=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|×|PF2|
（9分）(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|×|PF2|-|F1F2|2 2|PF1|×|PF2|
=
=48-2|PF1|×|PF2| 2|PF1|×|PF2|
-1≥24 |PF1|×|PF2|
-1=24 16
，…（13分）1 2
则0＜∠F1PF2≤
；π 3
由上述可得∠F1PF2的取值范围为[0，
]．…（14分）π 3