问题
解答题
设F1，F2分别是椭圆
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的长； （Ⅱ）在x轴上是否存在一点M，使得
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答案
（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，A(-
，3
)，B(-1 2
，-3
)，此时OA与OB不垂直．（2分）1 2
当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x+
)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，3
联立直线与椭圆的方程
，整理得(4k2+1)x2+8y=k(x+
)3 x2+4y2=4
k2x+12k2-4=0（4分）x1+x2=3
，x1x2=-8
k23 4k2+1 12k2-4 4k2+1
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0x1x2+k2(x1+
)(x2+3
)=x1x2+k2x1x2+3
k2(x1+x2)+3k2=03
k2•3
+(1+k2)•-8
k23 4k2+1
+3k2=012k2-4 4k2+1
解得k2=
（6分）4 11
∴|AB|=
|x1-x2|=1+k2
（8分）20 9
（Ⅱ）设M（m，0）为x轴上一点
（12分）
•MA
=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2MB =
-m•12k2-4 4k2+1
+m2--8
k23 4k2+1 k2 4k2+1 = (4m2+8
m+11)k2+m2-43 4k2+1
若
•MA
为定值，则有MB
=4m2+8
m+113 m2-4
，解得m=-4 1 9 3 8
所以存在点M(-
， 0)使得9 3 8
•MA
为定值．（14分）MB