问题
解答题
设函数f（x）的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x1-x2）=
（1）写出f（x）的一个函数解析式，并说明其符合题设条件； （2）判断并证明函数f（x）的奇偶性； （3）若存在正常数T，使得等式f（x）=f（x+T）或者f（x）=f（x-T）对于x∈D都成立，则都称f（x）是周期函数，T为周期；试问f（x）是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由． |
答案
（1）取f（x）=tanx，定义域为{x|x≠kπ+
，k∈Z}关于原点对称，且0∈D；且存在常数a=π 2
使得π 4
f（a）=tana=1；又由两角差的正切公式知，f(x1-x2) =
符合．…（4分）f(x1)-f(x2) 1+f(x1)f(x2)
（2）f（x）是D上的奇函数；
证明如下：f（0）=0，取x1=0，x2=x，由f(x1-x2) =f(x1)-f(x2) 1+f(x1)f(x2)
得f（-x）=-f（x），所以f（x）是D上的奇函数；…（4分）
（3）考察f（x）=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜测4a是f（x）的一个周期．
证明：由已知f(x-a)=
=f(x)-f(a) 1+f(x)f(a)
，则f(x-2a)=f[(x-a)-a]=f(x)-1 1+f(x) f(x-a)-1 1+f(x-a)
=[
-1 ] ÷[1+f(x)-1 1+f(x)
] = -f(x)-1 1+f(x)
，1 f(x)
∴f(x-4a)=f[(x-2a)-2a]=-
=f(x)．1 f(x-2a)
所以f（x）是周期函数，4a是f（x）的一个周期．…（7分）