问题 选择题
已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)与双曲线C2:x2-
y2
4
=1 有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则(  )
A.a2=
13
2
B.a2=3C.b2=
1
2
D.b2=2
答案

由题意,C2的焦点为(±

5
,0),一条渐近线方程为y=2x,根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a

∴C1的半焦距c=

5
,于是得a2-b2=5   ①

设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为(x,2x),代入C1的方程得:x2=

a2b2
b2+4a2
②,

由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2

5
x,

由题得:2

5
x=
2a
3
,所以x=
a
3
5
    ③

由②③得a2=11b2  ④

由①④得a2=5.5,b2=0.5  

故选C

选择题
问答题