①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集，此是一个正确命题，集合{x|1+x＜4，x∈N}有三个元素，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；

②函数y=log_x-1|x|的定义域为（1，+∞），由对数函数的定义知

|x|≠0 x-1＞0 x-1≠1

解得x＞1且x≠2，故此命题不正确；

③函数y=lg

1+x

1-x

是奇函数，此是一个正确命题，令f(x)=lg

1+x

1-x

，则f(-x)=lg

1-x

1+x

=lg

1+x

1-x

=-f(x)，故函数是奇函数；

④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为x₁、x₂，则x₁x₂=6，此命题正确，因为方程的两根为x₁、x₂，则必有lgx₁+lgx₂=lg2+lg3，即有x₁x₂=6

综上得正确命题的序号为①③④

故答案为①③④