（1）设A（m，n）为函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n，对于x∈R恒成立．即（m-x）³+3（m-x）²+（m+x）³+3（m+x）²=2n对于x∈R恒成立，

∴（6m+6）x²+（2m³+6m²-2n）=0由

故函数f（x）图象的一个对称点为（-1，2）．

（2）①因为函数是奇函数，则由f（-x）=-f（x）得：-ax³+（b-2）x²=-ax³-（b-2）x²，解得a∈R，b=2；

②当a∈R，b=2时f（x）是奇函数．不存在常数a使f（x）≥-x²+4x-2x∈[-1，1]时恒成立．

依题，此时f（x）=ax³令g（x）=-x²+4x-2x∈[-1，1]∴g（x）∈[-7，1]若a=0，f（x）=0，不合题；

若a＞0，f（x）=ax³此时为单调增函数，f（x）_min=-a．

若存在a合题，则-a≥1，与a＞0矛盾．

若a＜0，f（x）=ax³此时为单调减函数，

f（x）_min=a若存在a合题，则a≥1，与a＜0矛盾．

综上可知，符合条件的a不存在．

（3）函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f（m+x）=f（m-x）

①a=b=0时，f（x）=0（x∈R），其图象关于x轴上任意一点成中心对称；关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形；

②a=0，b≠0时，f（x）=bx²（x∈R），其图象关于y轴对称图形；

③a≠0，b=0时，f（x）=ax³，其图象关于原点中心对称；

④a≠0，b≠0时，f（x）=ax³+bx²的图象不可能是轴对称图形．

设A（m，n）为函数f（x）=ax³+bx²图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n对于x∈R恒成立．即a（m-x）³+b（m-x）²+a（m+x）³+b（m+x）²=2n对于x∈R恒成立，（3am+b）x²+（am³+bm²-n）=0

由，由

故函数f（x）图象的一个对称点为（-