已知M（2，1），N（-1，2），在下列方程的曲线上，存在点P满足|MP|=|N

问题选择题

已知M（2，1），N（-1，2），在下列方程的曲线上，存在点P满足|MP|=|NP|的曲线是（　　）

A．3x-y+1=0

B．x²+y²-4x+3=0

C．

+y2=1

D．

-y2=1

答案

连接MN，设MN的方程为y=kx+b，倾斜角为α

代入M，N的坐标，有

2k+b=1

-k+b=2

解得k=-

，b=

即tanα=

sinα

cosα

MN的方程为y=-

，x∈[-1，2]

设MN的中点坐标为Q（a，-

）

有|QM|²=|QN|²

（a-2）²+（-

-1）²=[a-（-1）]²+（-

-2）^{2
解得a=
1
2
得Q（
1
2
，3
2）
与MN垂直的直线斜率为
tan（
π
2
+α）=sin(π
2
+α)
cos(π
2
+α)
=-
cosα
sinα
=3
设MN垂直平分线的方程为y=3x+c
代入Q（
1
2
，3
2），得
3×
1
2
+c=3
2
得c=0
MN垂直平分线的方程为y=3x
可知y=3x上的点到M的距离与到N的距离相等，则点P在y=3x上，同时又在A，B，C，D中的一个曲线上，即两个图象有交点
A.3x-y+1=0
即y=3x+1
3x+1=3x不成立，两个图象无交点
B．y=3x代入x²+y²-4x+3=0，得
10x²-4x+3=0
判别式△=（-4）²-4×10×3=-104＜0
两个图象无交点
C．y=3x代入
x2
2
+y2=1，得
x2
2
+(3x)2=1，解得x=±2
19
19
3*（±2√19/19）═±6√19/19
得P（
2
19
19
，6
19
19）或（-2
19
19，-6
19
19）
D．y=3x代入
x2
2
-y2=1，得
17x2
2
+1═0
判别式△=0²-4×（17/2）×1=-34＜0
两个图象无交点
只有C选项正确
故选C}